关于具有零化度的子流形的平均曲率

在本文中，我们研究具有正相对零化度指标的等距浸入为柱面的几何条件。存在大量非柱面的 $n$ 维极小子流形，其相对零化度指标为 $n-2$，由 Dajczer 和 Florit \cite{DF2} 用某类椭圆曲面完全描述。与此相反，我们证明空间形式中任意余维数的非极小 $n$ 维子流形在局部上为柱面，只要它们带有一个秩为 $n-2\geq2$ 的全测地分布，该分布包含于相对零化度分布中，且平均曲率向量场的长度沿每片叶为常数。维数 $n=3$ 的情形是特殊的。我们证明球中存在满足上述性质的椭圆三维子流形。事实上，我们给出了三维子流形作为欧氏空间中极小曲面的单位切丛的参数化，其第一曲率椭圆处处非圆而第二曲率椭圆处处为圆。此外，我们给出了若干关于平均曲率向量场长度恒定的子流形的应用，这是一个比平行弱得多的条件。