关于动理学理论的主方程方法：线性与非线性 Fokker–Planck 方程

我们在 Kac 的“混沌传播”极限背景下，讨论了 Fokker-Planck 型动理学方程（两个线性的和一个非线性的）与某些 N 体扩散过程的 Kolmogorov（亦称主）方程之间的关系。线性 Fokker-Planck 方程是众所周知的，但此处它们被推导为 (3N-C) 维半径为 sqrt(N) 的 N 速度球上简单线性扩散方程在 N->infty 时的极限（若系统仅守恒能量则 C=1，若守恒能量和动量则 C=4）。在这种情况下，零本征值与拉普拉斯算子正谱之间的谱隙在 N->infty 时保留，从而主演化对平衡的指数逼近传递给了 R^3 中的极限 Fokker-Planck 演化。非线性 Fokker-Planck 方程在等离子体物理文献中称为 Landau 方程。其 N 粒子主方程由 Balescu 和 Prigogine（BP）于 1950 年代引入，本文在 (3N-4) 维 N 速度球上研究它。我们证明 BP 主方程表示 R^{3N} 中某些由两粒子碰撞守恒律决定的二维子流形上扩散过程的叠加。证明了 BP 主方程的初值问题适定，且其解以指数速度快速衰减至平衡。然而，BP 算子的第一个非零本征值在 N->infty 极限下消失。这表明指数快速逼近平衡可能不会从有限 N 的主方程传递给 Landau 的非线性动理学方程。