容错几何 spanner 的近似距离与最短路径预言机

本文提出了针对容错欧几里得 spanner 的近似距离和最短路径预言机，其动机源于现实世界道路网络中的路由问题。对于 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个点的集合 $V$，一个 $f$-容错欧几里得 $t$-spanner 是一个图 $G=(V,E)$，其中对于 $V$ 中的任意两点 $p$ 和 $q$ 以及 $V$ 的 $f$ 个顶点的集合 $F$，$p$ 和 $q$ 在 $G-F$ 中的距离至多为其欧几里得距离的 $t$ 倍。给定一个具有 $O(n)$ 条边的 $f$-容错欧几里得 $t$-spanner $G$ 和一个常数 $\varepsilon$，我们的数据结构大小为 $O_{t,f}(n\log n)$，这使得对于任意两个顶点 $s$ 和 $s'$ 以及一个包含 $f$ 个失效顶点的集合 $F$，可以在常数时间内计算 $G-F$ 中 $s$ 和 $s'$ 之间的 $(1+\varepsilon)$-近似距离。此外，利用大小为 $O_{t,f}(n\log n\log\log n)$ 的数据结构，我们可以在 $O_{t,f}(\log^2 n\log\log n+\textsf{sol})$ 时间内计算 $G-F$ 中任意两个顶点 $s$ 和 $s'$ 以及失效顶点集合 $F$ 之间的 $(1+\varepsilon)$-近似最短路径，其中 $\textsf{sol}$ 表示返回路径中的顶点数。