关于多项式环的 \'etale 扩张的整性

受 Rangachev 近期得到的一个赋值定理的启发，我们研究了特征为零的代数闭域上多项式环的 \'etale 扩张 $A\subset B$，使得整闭包 $\overline{A}$ 是 $B$ 的准素 $\overline{A}$-子模。我们证明，在这种情况下 $\overline{A}$ 具有无限循环除子类群，其生成元是等于 $\textrm{Spec}(B)$ 在 $\textrm{Spec}(\overline{A})$ 中的补集的素除子。此外，该素除子与有限扩张 $A\subset \overline{A}$ 的分歧除子相一致。在此情形下，我们对二维非整 \'etale 扩张实施了 Wright 的几何方法。由 Miyanishi 的工作可知 $\textrm{Spec}(\overline{A})$ 是一个光滑仿射曲面。我们证明 $\textrm{Spec}(\overline{A})$ 是 $\mathbb{P}^{1}$ 上的 $\mathbb{A}^{1}$-丛，更准确地说，是指数为三的 Danilov-Gizatullin 曲面。基于 Wright 对这些仿射曲面中哪些能够分解复仿射平面的 \'etale 态射的分析，以及他对仿射坐标环的描述，我们证明在 $\overline{A}$ 始终是 $B$ 的准素 $\overline{A}$-子模这一强假设下，任何二维复 \'etale 扩张都是整的。