关于极化 Enriques 曲面的模空间

我们证明，对于任意 $g \geq 2$，从复极化亏格 $g$ Enriques 曲面的模空间 $\mathcal{E}_{g}$ 到数值极化亏格 $g$ Enriques 曲面的模空间 $\widehat{\mathcal{E}}_{g}$ 的 étale 二重覆盖 $\rho_g:\mathcal{E}_{g} \to \widehat{\mathcal{E}}_{g}$ 恰好在参数化 $2$-可除类的 $\widehat{\mathcal{E}}_{g}$ 的不可约分支上不连通，回答了 Gritsenko 和 Hulek 的一个问题。我们用 Enriques 曲面上线丛的一个新不变量来刻画 $\mathcal{E}_{g}$ 的所有不可约分支，该不变量推广了 Cossec 引入的 $\phi$-不变量。特别地，我们得到了 $\mathcal{E}_g$ 的不可约分支与满足特定条件的 $11$-整数组之间的一一对应。这使得原则上可以列出每个 $g \geq 2$ 的 $\mathcal{E}_g$ 的所有不可约分支。