关于辛Monge-Ampère方程的可积性
微分几何
2015-05-14 v2 可精确求解与可积系统
摘要
设u为n个独立变量x^1, ..., x^n的函数，U=(u_{ij})为u的Hessian矩阵。辛Monge-Ampère方程定义为U的所有可能子式之间的线性关系。特例包括描述非正常仿射球面的方程det U=1，以及描述自对偶Ricci平坦四流形的所谓天方程u_{13}u_{24}-u_{23}u_{14}=1。本文对四维可积辛Monge-Ampère方程进行了分类（对于n=3，此类方程的可积性已知等价于其可线性化）。该问题可几何地重新表述为Lagrangian Grassmannian的Plücker嵌入的“最大奇异”超平面截面的分类。我们提出一个猜想：任何形式为F(u_{ij})=0且维数大于三的可积方程必然属于辛Monge-Ampère类型。
引用
@article{arxiv.0910.3407,
title = {On the integrability of symplectic Monge-Amp\'ere equations},
author = {B. Doubrov and E. V. Ferapontov},
journal= {arXiv preprint arXiv:0910.3407},
year = {2015}
}
备注
20 pages; added more details of proofs