论 p 进对数在主单位上的像

$p$ 进对数出现在数论的许多地方。因此，对 $p$ 进对数的像有一个良好的描述可能是有用的，特别是弄清 $1 + \mathfrak{m}_K$ 的像，其中 $K$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 的代数扩张而 $\mathfrak{m}_K$ 是其极大理想。若 $K$ 的分歧指数严格小于 $p-1$，则众所周知 $p$ 进对数是 $1+\mathfrak{m}_K$ 到 $\mathfrak{m}_K$ 的双射。若分歧指数等于或大于 $p-1$，则 $p$ 进对数不再是双射，情况更为复杂。我们的主要结果是在两种情形下计算 $\log_p(1+\mathfrak{m}_K)$：\begin{enumerate} \item[$\bullet$] 对 $K=\mathbb{Q}_p(\zeta_p)$，其中 $\zeta_p^p=1$，$\mathbb{Q}_p$ 的全分歧 $p$-分圆扩张（分歧指数等于 $p-1$）\item[$\bullet$] 对 $K$ 为 $\mathbb{Q}_2$ 的二次扩张（分歧指数等于 1, 2）。\end{enumerate}