带边流形上 Coulomb 联络的 holonomy

Narasimhan 与 Ramadas 证明了当考虑乘积主丛 $S^3 \times SU(2)\to S^3$ 时，Coulomb 联络的限制 holonomy 群在规范群单位元的连通分支中稠密。这里我们考虑维数 $n\ge 2$ 且带边的底流形，并使用 Marini 所定义的联络的 Dirichlet 边界条件。Narasimhan 与 Ramadas 方法的一个关键步骤在于证明由某个特别选取的联络处的曲率形式所线性张成的空间相对于适当的 Sobolev 范数在 holonomy Lie 代数中稠密。我们的目标在于探究边界的存在对此 holonomy Lie 代数构造的影响。固定适当的 Sobolev 范数后，将证明由任一联络处的曲率形式线性张成的空间在 holonomy Lie 代数中从不稠密。相反，由平坦联络处的曲率形式及其一阶交换子所线性张成的空间是稠密的，并且在 $C^\infty$ 范畴下事实上就是整个 holonomy Lie 代数。前一否定定理对 $M$ 上的任意主丛证明，而后一肯定定理仅对 $\mathbb{R}^n$ 中有界开子集闭包上的乘积丛证明。我们证明不稠密性的技术在于说明由一点处曲率形式线性张成的空间包含在一个线性映射的核中，该映射由一个三阶微分算子后接边界处的限制操作构成；此映射由边界的平均曲率决定。