关于某些一般次数下Steenrod代数的命中问题及其应用

令 $\mathcal P_{n}:=H^{*}((\mathbb{R}P^{\infty})^{n}) \cong \mathbb F_2[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ 为二元域 $\mathbb F_2$ 上的多项式代数。我们研究多项式代数 $\mathcal P_{n}$ 的Peterson命中问题，其被视为模-$2$ Steenrod代数 $\mathcal{A}$ 上的分次左模。对于 $n>4$，该问题仍未解决，即使在计算机辅助下 $n=5$ 的情形亦如此。本文旨在通过发展 \cite{ph31} 中针对 $\mathcal P_n$ 在一般次数 $r(2^s-1)+m.2^s$ 的结果来继续我们的命中问题研究，其中 $r=n=5,\ m=13,$ 且 $s$ 为任意非负整数。注意对于 $s=0$ 和 $s=1$，该问题已分别由Phuc \cite{ph20ta} 和 \cite{ph31} 研究。作为这些结果的应用，我们得到多项式代数在一般次数 $d=(n-1).(2^{n+u-1}-1)+\ell.2^{n+u-1}$ 的维数结果，其中 $u$ 为任意非负整数，$\ell \in \{23, 67 \},$ 且 $n=6$。命中问题的一个主要应用是考察由Singer引入的同态，即一个从Steenrod代数的同调到由所有 $GL(n; \mathbb F_2)$-不变类组成的 $(\mathbb{F}_{2}{\otimes}_{\mathcal{A}}\mathcal P_{n})_d$ 子空间的同态 $$Tr_n :\text{Tor}^{\mathcal A}_{n, n+d} (\mathbb F_2,\mathbb F_2) \longrightarrow (\mathbb{F}_{2}{\otimes}_{\mathcal{A}}\mathcal P_{n})_d^{GL(n; \mathbb F_2)}$$ 它是描述Steenrod代数的同调群 $\text{Tor}^{\mathcal A}_{n, n+d}(\mathbb F_2,\mathbb F_2)$ 的有用工具。本文末尾还讨论了第五次Singer代数转移在次数 $5(2^s-1)+13.2^s$ 的行为。