关于第五代数转移的 Singer 猜想

令 $P_k:= \mathbb{F}_2[x_1,x_2,\ldots ,x_k]$ 为 $k$ 个变量的多项式代数，其中每个 $x_i$ 的次数为 $1$，将其视为模 2 Steenrod 代数 $\mathcal{A}$ 上的模；令 $GL_k$ 为素域 $\mathbb{F}_2$ 上的一般线性群，它自然地作用于 $P_k$。我们研究由 Frank Peterson 提出的命中问题，即寻找多项式代数 $P_k$ 作为模 2 Steenrod 代数 $\mathcal{A}$ 上模的极小生成集。这些结果被用于研究 Singer 代数转移，它是从模 2 Steenrod 代数的同调 $\mbox{Tor}^{\mathcal{A}}_{k, k+n}(\mathbb{F}_2, \mathbb{F}_2)$ 到 $\mathbb{F}_2\otimes_{\mathcal{A}}P_k$ 的由所有 $GL_k$ 不变的 $n$ 次类构成的子空间的同态。在本文中，我们显式计算了 $k = 5$ 且次数为 $7.2^s-5$（其中 $s$ 为任意正整数）时的命中问题。利用这一结果，我们证明了在 $k=5$ 及上述次数的情况下，关于代数转移的 Singer 猜想成立。