关于 Singer 代数传递的第五阶在某些度数中的确定

设 $P_k$ 为域 $\mathbb F_2$ 上的graded多项式代数 $\mathbb F_2[x_1,x_2,\ldots ,x_k]$，其中每个变量 $x_i$ 的次数为1，设 $GL_k$ 为域 $\mathbb F_2$ 上的一般线性群，其对 $P_k$ 作常规作用。将 $P_k$ 视为模-2 Steenald代数 $\mathcal A$ 的模。在1989年，Singer [22] 定义了第 $k$ 级同调代数传递，即同态 $$\varphi_k :{\rm Tor}^{\mathcal A}_{k,k+d} (\mathbb F_2,\mathbb F_2) \to (\mathbb F_2\otimes_{\mathcal A}P_k)_d^{GL_k}$$ 从模-2 Steenald代数的同调群 $\mbox{Tor}^{\mathcal A}_{k,k+d} (\mathbb F_2,\mathbb F_2)$ 到子空间 $(\mathbb F_2\otimes_{\mathcal A}P_k)_d^{GL_k}$（由所有 $GL_k$ 不变类组成，次数为 $d$），其作用在 $\mathbb F_2{\otimes}_{\mathcal A}P_k$ 中。本文利用 Peterson hit问题的结果，证明了 Singer代数传递的第五阶在内部次数 $d=20$ 和 $d=30$ 时为同构。我们的结果否定了 Phuc [17] 中 $d=20$ 情形的证明。