平方运算与 Singer 代数转移

设 $P_k$ 为分次多项式代数 $\mathbb F_2[x_1,x_2,\ldots ,x_k]$，其中每个 $x_i$ 的次数为 1，将其视为模 2 Steenrod 代数 $\mathcal A$ 上的模；设 $GL_k$ 为素域 $\mathbb F_2$ 上的一般线性群，它正则作用于 $P_k$。我们利用 hit problem 的技巧研究了由 Singer 构造的代数转移。该转移是从模 2 Steenrod 代数的同调 $\text{Tor}^{\mathcal A}_{k,k+n} (\mathbb F_2,\mathbb F_2)$ 到 $\mathbb F_2{\otimes}_{\mathcal A}P_k$ 中由所有次数为 $n$ 的 $GL_k$-不变类组成的子空间的一个同态。在本文中，我们扩展了 Hung 关于 Singer 代数转移与 Steenrod 代数上同调的平方运算之间关系的结果。利用这一结果，我们证明了在 $k=5$ 且次数为 $5(2^{s} -1)$（其中 $s$ 为任意正整数）的情况下，Singer 关于代数转移的猜想成立。