关于秩4与6代数传递的一般内部度数

设 $\mathscr A$ 为二元域 $\mathbb Z/2$ 上的经典单次graded Steenald代数。我们记 $P_k:=\mathbb Z/2[t_1, t_2, \ldots, t_k]$ 为 $k$ 个生成器的多项式代数，每个生成器的次数为1。设 $GL_k$ 为 $\mathbb Z/2$ 上秩为 $k$ 的一般线性群。则 $P_k$ 是一个 $\mathscr A[GL_k]$-模。Steenald代数诺特尔组 ${\rm Ext}_{ \mathscr A}^{k, k+\bullet}(\mathbb Z/2, \mathbb Z/2)$ 的结构迄今为止尚未得到清晰的理解和完整描述。在这些诺特尔组的研究中，Singer在 [Math. Z. 202, 493--523 (1989)] 构造的代数传递发挥了重要作用。Singer传递表示为以下同态: $$Tr_k: {\rm Hom}([(\mathbb Z/2\otimes_{ \mathscr A} P_k)_{\bullet}]^{GL_k}, \mathbb Z/2)\longrightarrow {\rm Ext}_{ \mathscr A}^{k, k+\bullet}(\mathbb Z/2, \mathbb Z/2).$$ Singer的贡献之一是关于 $Tr_k$ 对所有 $k$ 单射的有趣开放猜想。因此，本文的主要目标是确定在某些内部度数的特定情况下，关于秩4和6的Singer猜想的有效性。我们特别关注秩4的情况。更准确地说，我们在验证秩4猜想的某些通用度数情况下的详细证明，这些情况在我们的前一工作 [Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 153, 1529--1542 (2023)] 中已简要提及。