关于二次与三次函数的Hilbert深度

给定一个数值函数 $h:\mathbb Z_{\geq 0}\to\mathbb Z_{\geq 0}$ 且 $h(0)>0$，其Hilbert深度定义为 $\operatorname{hdepth}(h)=\max\{d\;:\;\sum\limits_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom{d-j}{k-j}h(j)\geq 0\text{ 对所有 }k\leq d\}$；参见 arXiv:2309.10521。本文研究函数 $h_2(j)=aj^2+bj+e$, $j\geq 0$ 和 $h_3(j)=aj^3+bj^2+cj+e$, $j\geq 0$ 的Hilbert深度，其中 $a,b,c,e$ 为整数且 $a,e>0$。我们证明，若 $b<0$ 且 $b^2\leq 4ae$，则 $\operatorname{hdepth}(h_2)\leq 11$；若 $b<0$ 且 $b^2>4ae$，则 $\operatorname{hdepth}(h_2)\leq 13$。此外，我们证明，若 $b<0$ 且 $b^2\leq 3ac$，则 $\operatorname{hdepth}(h_3)\leq 67$。