双重点与约化点概型的 Hilbert 函数

对 $\mathbb{P}^2$ 中双重点的 Hilbert 函数进行分类仍是一个未解决问题。给定一个 $\mathbb{P}^2$ 中零维概型的有效 Hilbert 函数 $H$，我们展示如何构造一个由双重点与约化点组成的胖点集 $Z \subseteq \mathbb{P}^2$，使得 $H_Z$（$Z$ 的 Hilbert 函数）与 $H$ 相同。换言之，我们表明任意零维概型的有效 Hilbert 函数 $H$ 都是具有正数量双重点及若干约化点的点集的 Hilbert 函数。对于某些有效 Hilbert 函数的族，我们还能够表明 $H$ 仅是双重点的 Hilbert 函数。此外，我们给出了由双重点、或双重点外加一个额外约化点组成的概型的 Hilbert 函数成为支撑于线星型构型上的点的 Hilbert 函数的充要条件。