关于高阶 Schreier 空间的几何

对每个可数序数 $\alpha$，令 $\mathcal{S}_{\alpha}$ 为 $\alpha$ 阶 Schreier 集，$X_{\mathcal{S}_\alpha}$ 为相应的 $\alpha$ 阶 Schreier 空间。本文我们证明了这些空间的若干新性质。1) 若 $\alpha$ 非零，则 $X_{\mathcal{S}_\alpha}$ 具有 R. Aron 与 R. Lohman 的 $\lambda$-性质，并且是 V. Fonf 与 L. Vesely 意义下的 $(V)$-多面体空间。2) 若 $\alpha$ 非零且 $1<p<\infty$，则 $p$-凸化 $X^{p}_{\mathcal{S}_\alpha}$ 具有 R. Aron 与 R. Lohman 的一致 $\lambda$-性质。3) 对每个可数序数 $\alpha$，空间 $X^*_{\mathcal{S}_\alpha}$ 具有 $\lambda$-性质。4) 对 $n\in \mathbb{N}$，若 $U:X_{\mathcal{S}_n}\to X_{\mathcal{S}_n}$ 是满射线性等距，则对每个 $i \in \mathbb{N}$ 有 $Ue_i = \pm e_i$。因此，这些空间在 Megrelishvili 意义下是轻的。非零 $\alpha$ 时 $X_{\mathcal{S}_\alpha}$ 是 $(V)$-多面体且具有 $\lambda$-性质这一事实意味着每个 $X_{\mathcal{S}_\alpha}$ 是求解 J. Lindenstrauss 1966 年提出的一个问题的空间实例。此类空间的第一个例子由 C. De Bernardi 于 2017 年通过对 $c_0$ 重新赋范给出。