关于 Paley-Wiener 空间上 Nehari 定理的失效

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 的非空开凸子集。关于 $\Omega$ 的 Paley-Wiener 空间定义为 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ 中傅里叶变换支集在 $2\Omega$ 内的函数构成的闭子空间。对于缓增分布 $\phi$，我们定义 Hankel 算子为如下稠定算子：$$\widehat{H_{\phi}f}(x)=\int_{\Omega}\widehat{f}(y)\widehat{\phi}(x+y)dy,\text{ for $x\in\Omega$}.$$ 若每个有界 Hankel 算子均由一个有界函数生成，则称 $\Omega$ 上 Nehari 定理成立。本文证明：对于 $\mathbb{R}^{n}$ 中任意具有无穷多个极值点的凸集，Nehari 定理均失效。特别地，它对一切非多面体的有界凸集失效。此外，在 $\mathbb{R}^{2}$ 情形下，它对一切非多面体集合（有界或无界）均失效。