关于 Bergman 空间上 Hankel 算子的奇异值

本文研究了加权 Bergman 空间 $A^2_{\omega _\varphi}$ 上 Hankel 算子的奇异值行为，其中 $\omega _\varphi= e^{-\varphi}$ 且 $\varphi$ 为次调和函数。我们考虑具有反解析符号 ${\overline {\phi}}$ 的紧 Hankel 算子 $H_{\overline {\phi}}$，并给出对任意凸函数 $h$ 的 $h(|H_{\overline \phi}|)$ 迹的估计。这使我们能够根据 $|\phi '|/\sqrt{\Delta \varphi}$ 的递减重排给出奇异值 $(s_n(H_{\overline {\phi}}))_n$ 的渐近估计。对于径向权，我们首先证明 $(s_n(H_{\overline {\phi}}))_n$ 的临界衰减由 $(s_n (H_{\overline{z}}))_n$ 实现。即我们确立：若 $s_n(H_{\overline {\phi}})= o (s_n(H_{\overline {z}}))$，则 $H_{\overline {\phi}} = 0$。进而我们证明：若 $\Delta \varphi (z) \asymp \frac{1}{(1-|z|^2)^{2+\beta}}$ 且 $\beta \geq 0$，则 $s_n(H_{\overline {\phi}}) = O(s_n(H_{\overline {z}}))$ 当且仅当 $\phi '$ 属于 Hardy 空间 $H^p$，其中 $p= \frac{2(1+\beta)}{2+\beta}$。最后，每当 $\phi ' \in H^{p }$ 时，我们计算出 $s_n(H_{\overline {\phi}})$ 的渐近式。