Nehari定理与Paley--Wiener空间的Hardy不等式

最近证明了对于具有无限多个极端向量的凸子集$\mathbb{R}^{n}$，Nehari定理失效，即存在Paley--Wiener空间$\PW(\Omega)$上的有界Hankel算子$\Ha_{\phi}$不具备有界符号。在本文中我们检验Nehari定理在Hankel算子$\Ha_{\phi}$属于Paley--Wiener空间的Schattent class $S^{p}(\PW(\Omega)$的情况下是否成立。我们证明对于$p>4$的任何凸子集$\mathbb{R}^{n}$，$n\geq2$，其边界在非零曲率处具有 C^{2 邻域内，情况均如此。进一步我们证明对于$\mathbb{R}^{n}$中的多面体$P$，不等式 $$\int_{2P}\dfrac{|\widehat{f}(x)|}{m(P\cap (x-P))}dx\leq C(P)\|f\|_{L^{1}},$$ 对所有$f\in \PW^{1}(2P)$成立，从而任何Paley--Wiener空间中多面体的Hilbert--Schmidt Hankel算子都由有界函数生成。