关于二元埃及分数的例外集

对于固定整数 $a\ge3$，我们研究二元丢番图方程 $\frac{a}n=\frac1x+\frac1y$，特别是该方程不存在 $x, y$ 的正整数解的那些 $n\le N$ 的数目 $E_a(N)$。本文建立了当 $N$ 趋于无穷时的渐近公式 $$E_a(N)\sim C(a) \frac{N(\log\log N)^{2^{m-1}-1}}{(\log N)^{1-1/2^m}}$$，极大地改进了文献中的最佳结果。证明依赖于对底层群结构的非常精细的分析。