二元埃及分数的均值定理 II

在本文中，我们继续研究 Diophantine 方程 $\frac{a}n=\frac1x+\frac1y$，特别是固定 $a$ 时其解的个数 $R(n;a)$。我们证明了关于二阶矩 $(R(n;a))^2$ 的若干均值定理，并由此推导出 $\log R(n;a)$ 满足均值为 $\log 3\log\log n$、方差为 $(\log 3)^2\log\log n$ 的某一 Gauss 分布，这是 Erd\H os 和 Kac 经典定理的类比。最后，所有这些结果均表明 $R(n;a)$ 的行为在诸多方面类似于除数函数 $d(n^2)$。