关于Perona-Malik方程次临界区域的演化

Perona-Malik方程是前向-后向抛物型方程的一个著名例子。前向行为发生在所谓的次临界区域，其中解的梯度小于一个固定阈值。本文表明，该次临界区域在以下三种情况下以不同方式演化：一维情形、大于一维的径向解情形、大于一维的一般解情形。在第一种情况下，次临界区域增大，但不存在膨胀率的估计。在第二种情况下，它们以正速率膨胀，并且总是在有限时间后扩散到整个区域，该时间仅取决于区域的外半径。作为副产品，我们得到了一个关于梯度足够大的全局经典径向解的不存在性结果。在第三种情况下，我们给出了一个次临界区域不膨胀的例子。我们的证明利用了适用于退化且非光滑自由边界问题的比较原理。