Perona-Malik 方程全局经典解的一个例子

我们考虑 $\mathbb{R}^{n}$ 中开子集上带 Neumann 边界条件的 Perona-Malik 方程的 Cauchy 问题。众所周知，在一维情形下，若初始条件是跨临界（即初始条件梯度的范数在某些区域小于 1，而在另一些区域大于 1），则该问题不存在全局 $C^{1}$ 解。本文表明，这一结果不能推广到更高维数。我们证明，对于 $n \ge 2$，该问题存在具有跨临界初始条件的 $C^{2,1}$ 类径向解。