具有小交叉扩散与非局部漂移的孔隙介质方程组的存在性与正则性

我们证明了一类具有自扩散与交叉扩散、输运/约束以及非局部相互作用项的非线性退化抛物型偏微分方程组解的存在性与 Sobolev 正则性。该宏观偏微分方程组由大粒子系统形式导出，刻画了有界区域 $\Omega$ 中任意空间维数下任意数目物种在二次孔隙介质相互作用下的演化。不同物种间的交叉相互作用由一个参数 $\delta<1$ 缩放，其中 $\delta= 0$ 的情形对应于物种间无相互作用。关于 $\delta$ 的一个小性条件保证了在 $L^2(0,T;H^1(\Omega))$ 的一个子空间中解存在至任意时刻 $T>0$。这是通过对正则化系统使用 Schauder 不动点论证并结合消失扩散性方法证明的。对 $\delta$ 取极值时解的行为进行了数值研究。