正特征有限生成群中的方程 $x + y = 1$

设 $K$ 为特征 $p > 0$ 的域，$G$ 为 $K^\ast \times K^\ast$ 的子群，且 $\text{dim}_\mathbb{Q}(G \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}) = r$ 有限。Voloch 证明了对于给定 $a, b \in K^\ast$，方程 $ax + by = 1 \text{ 于 } (x, y) \in G$ 至多存在 $p^r(p^r + p - 2)/(p - 1)$ 个解 $(x, y) \in G$，除非对某个 $n \geq 1$ 有 $(a, b)^n \in G$。Voloch 还猜想该上界可被一个仅依赖于 $r$ 的上界所取代。我们的主定理正面回答了该猜想。我们证明至多存在 $31 \cdot 19^{r + 1}$ 个解 $(x, y)$，除非对某个 $n \geq 1$ 且 $(n, p) = 1$ 有 $(a, b)^n \in G$。在主定理的证明过程中，我们将 Beukers 和 Schlickewei 的工作推广到正特征，这严重依赖于丢番图逼近方法。这本身是一个令人惊讶的成就，因为通常这些方法无法转移到正特征。