随机微分方程的分布尾部：一维情形

本文考虑一般的一维随机微分方程(SDE)。特别关注可通过伊藤公式(Ito's formula)转化为如下形式的SDE：$$d X\_t = ( \bar{B} (X\_t) - b X\_t) d t + \sqrt{X\_t} d W\_t, ~~~X\_0 > 0,$$其中 $\bar{B}(y)/ y \to 0$。研究表明，$X\_t$ 的矩生成函数(MGF)在临界时刻 $\mu^\ast\_t$ 发生爆炸，该时刻与 $\bar{B}$ 无关。此外，此矩生成函数表示为一个Cox-Ingersoll-Ross过程的矩生成函数与一个额外项之和，该额外项由关于 $\partial_t$ 和 $\partial_x$ 的非线性偏微分方程(PDE)给出。然后利用本文定义的Banach空间中的逆函数定理，证明了该非线性偏微分方程解的存在性与唯一性。作为应用，对均值回复方程 $$d V\_t = ( a - b V\_t) d t + \sigma V^p\_t d W\_t, ~~~V\_0 = v\_0 > 0,$$进行了深入研究，推导了其矩生成函数以及互补累积分布(CCDF)的一些精确渐近展开式。