偏置随机游走在离散圆柱上的断开问题

我们考虑在离散圆柱 $({\mathbb{Z}}/N{\mathbb{Z}})^d\times{\mathbb{Z}}$，$d\geq3$ 上进行的随机游走，沿 $\mathbb{Z}$ 方向的漂移为 $N^{-d\alpha}$，并研究其在大 $N$ 下断开时间 $T^{\mathrm{disc}}_N$ 的行为，后者定义为随机游走轨迹第一次将圆柱分为两个无限组成部分的时刻。我们证明，只要漂移指数 $\alpha$ 严格大于 1，$T^{\mathrm{disc}}_N$ 的渐近行为仍为 $N^{2d+o(1)}$，与 Dembo 和 Sznitman 所考察的无偏情形相同；而对于 $\alpha<1$，$T^{\mathrm{disc}}_N$ 的渐近行为呈指数级增长于 $N$。