二维自治动力系统的对称性与相平面实现之间的对应关系

我们考虑二维自治动力系统在两种常见表述下的对称性之间的关系：一种是各状态关于时间的导数所满足的微分方程组，另一种是相平面中代表限制于系统状态空间上动力学的单个微分方程。两种表示均可就其控制微分方程的对称性加以分析，我们建立了相应表述的无穷小生成元集合之间的对应关系。主要结果是证明自治系统的每个对称性生成元都诱导出一个良定义的向量场，生成相平面中的对称性；反之，相平面中的每个对称性生成元均可提升为原自治系统对称性的一生成元，该生成元在时间上的常数平移意义下唯一。提升过程需要求解一个线性偏微分方程，我们称之为提升条件。我们详细讨论了该方程的一般解法，并以两个常见例子——质量守恒线性模型与非线性振子模型——说明了对称性的提升。