多赢家投票规则的赢家验证与候选赢家问题的复杂性

Chamberlin-Courant与Monroe规则是多赢家选举文献中基础且被广泛研究的规则。判定是否存在一个规模k且Chamberlin-Courant（ respectively，Monroe）得分至多为r的委员会的问题是已知的NP完全问题。在此设定下，我们考虑以下自然问题：a) 给定规模为k的委员会S作为输入，它是否为最优的k规模委员会；b) 给定候选者c与委员会规模k，是否存在包含c的最优k规模委员会？本工作中，我们确定了Chamberlin-Courant与Monroe投票规则在排序选票以及赞同选票设定下这两个问题的复杂性。我们证明验证给定委员会是否最优是coNP完全的，而后者问题是$\Theta_{2}^{P}$完全的。我们还展示了当输入由单峰排序构成时针对第二个问题的高效算法。我们的贡献填补了这些重要多赢家规则文献中的一个关键空白。