多赢家选举与 Chamberlin-Courant 规则的最优算法

我们考虑如下算法问题：在已知选民对所有 $m$ 个候选人的序数排序的情况下，从 $m$ 个候选人中选出给定大小 $k$ 的候选人子集。我们考虑用于实现多样性表示的著名且经典的分数规则：Chamberlin-Courant（CC）或 $1$-Borda 规则，其中委员会的分数是各选民对该委员会中该选民最佳候选人排名的平均值；及其推广到前 $s$ 个最佳候选人的平均值，称为 $s$-Borda 规则。我们的第一个结果是对自然且被广泛研究的贪婪启发式算法的改进分析。我们证明贪婪算法对 CC 规则的最大化（或满足度）版本达到 $\left(1 - \frac{2}{k+1}\right)$-近似，对 $s$-Borda 分数达到 $\left(1 - \frac{2s}{k+1}\right)$-近似。我们的结果改进了此前已知最好的该问题近似算法。我们证明这些界几乎是紧的。对于该问题的不满足度（或最小化）版本，我们证明分数 $\frac{m+1}{k+1}$ 可视为 CC 规则的最优基准，因为即使在最优分数小一个多项式因子时（在标准计算复杂性假设下），它本质上也是任何多项式时间算法所能达到的最佳分数。我们证明另一个被广泛研究的算法，称为 Banzhaf 规则，达到了该基准。我们最后证明，对于 $s$-Borda 规则，当最优值较小时，可通过 LP 舍入将这些算法改进 $\tilde \Omega(\sqrt{s})$ 倍。我们的上界与下界相较先前结果有显著改进，综合来看，不仅使我们能对这些问题上的贪婪算法进行更精细的比较，也为实践中使用此类算法提供了分析依据。