使寻找可能胜者变得困难的缺失信息的精确数量

我们考虑具有不完全信息的选举场景，这是一种在实践中经常出现的情况。存在多种不完全信息模型，相应地，此类选举的结果有不同的概念。在一个被广泛研究的不完全性模型中，选票由候选者上的偏序给出。在此背景下，我们可以构建寻找可能胜者（possible winner）的问题，即判定给定候选人在特定投票规则下给定一组部分选票的至少一种补全中是否获胜。可能胜者问题已知一般是 NP-complete 的，并且事实上已知对于若干投票规则，当每票中未确定对的数量仅受某个常数限制时，该问题是 NP-complete 的。本文中，我们着力解决精确确定使可能胜者问题保持 NP-complete 的最小未确定对数量的问题。特别地，我们找到了 $t$ 的精确值，使得可能胜者问题从属于 P 转变为 NP-complete，其中 $t$ 为每票中未确定对的最大数量。我们展示了一大类计分规则（包括所有常用计分规则（如 plurality、veto、Borda、$k$-approval 等）、对每个 $\alpha\in[0,1]$ 的 Copeland$^\alpha$、maximin 以及 Bucklin 投票规则）的紧结果。我们结果中一个有些令人惊讶的方面是，对于其中许多规则，即使每票至多有一个未确定候选者对，可能胜者问题也是困难的。