关于 Lotka-Volterra 方程的组合学

我们研究了一种基于组合学与生成函数获得双物种 Lotka-Volterra 方程精确形式解的方法。通过结合 Carleman 线性化与 Mori-Zwanzig 约化技术，我们将非线性方程转化为线性系统，从而得以推导形式解。Mori-Zwanzig 约化可化为一种展开式，我们证明该展开式可解释为带权有向格点路径游走，并借此将系统动力学表示为定长游走。进而证明精确解依赖于带权游走的生成元。我们表明该生成元可由偏微分方程的解获得，而该偏微分方程又等价于非线性观测量的特定 Koopman 演化。