关于恰含一条例外曲线的光滑环曲面的分类

我们对所有恰含一条例外曲线的光滑射影环曲面 $S$ 进行分类。我们证明每个这样的曲面 $S$ 同构于 $\mathbb{F}_1$ 或由有理数 $r \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ $(r >1)$ 定义的曲面 $S_r$。若 $a:= [ r]$，则 $S_r$ 是由加权射影平面 $\mathbb{P}(1, 2, 2a+1)$ 的极小奇点分解经过若干次环爆破得到的，其爆破次数等于有理数 $\{ r \} \in (0,1)$ 在经典 Farey 树中的层数。此外，我们证明若 $r = b/c$ 且 $b$ 与 $c$ 互素，则 $S_r$ 是加权射影平面 $\mathbb{P}(1, c, b)$ 的极小奇点分解。我们利用环曲面 $S_r$ 的二维正则扇形 $\Sigma_r$ 构造具有正则 $SL(2) \times \mathbb{G}_m$-作用的最小球面型三维流形的二维着色扇形 $\Sigma^c$。后者是由 Z. Guan 分类的最小环三维流形 $V_r$。我们建立了三维流形 $V_r$ 的三维扇形 $\widetilde{\Sigma}^c_r$ 与曲面 $S_r$ 的二维扇形 $\Sigma_r$ 之间的直接组合联系。