关于 $U(\frak{g})$ 中 $K$ 的中心化子

设 $\frak{g} = \frak{k} +\frak{p}$ 为复半单李代数 $\frak{g}$ 的复化 Cartan 分解，并设 $K$ 为 $\frak{g}$ 的伴随群中对应于 $\frak{k}$ 的子群。若 $H$ 是 $U(\frak{g})$ 的一个不可约 Harish-Chandra 模，则 $H$ 完全由中心化子 $U(\frak{g})^K$ 在 $H$ 中任一固定的本原 $\k$ 分量上的有限维作用所决定。Harish-Chandra 这一确定所有 $H$ 的原始方法在很大程度上被抛弃了，因为人们对 $U(\frak{g})^K$ 的生成元知之甚少。$U(\frak{g})^K$ 的生成元由对称代数类比 $S(\frak{g})^K$ 的生成元给出。令 $S_m(\frak{g})^K, m\in {\Bbb Z}_+$，为 $S(\frak{g})^K$ 中由次数至多为 $m$ 的 $K$-不变多项式定义的子代数。令 $Q$ 与 $Q_m$ 分别为 $S(\frak{g})^K$ 与 $S_m(\frak{g})^K$ 的商域。我们证明若 $n= dim \frak{g}$，则有 $Q= Q_{2n}$。我们还确定了关于 $K$ 在 $\frak{g}$ 上作用的不稳定点簇 $Nil_K$，并证明 $Nil_K$ 已可由 $A_{2n}$ 定义。正如 Hanspeter Kraft 向我们指出的，这一事实连同 Harm Derksen 的一个结果（见 [D]）确实蕴含 $A= A_r$，其中 $r = {2n\choose 2} dim {\frak p}$。