关于随机交织的渗流函数的 $C^1$ 性质及一个相关变分问题

我们考虑 $\mathbb{Z}^d$（$d \ge 3$）上的随机交织。我们证明，将每个 $u \ge 0$ 映射到原点不属于水平 $u$ 下空集中无限簇的概率的渗流函数，在区间 $[0,\hat{u})$ 上是 $C^1$ 的，其中 $\hat{u}$ 为正，且很可能与空集渗流临界水平 $u_*$ 重合。我们将此发现应用于一个约束最小化问题，该问题猜想性地表达了大盒子包含不属于空集无限簇的过高比例 $\nu$ 的格点的概率的指数衰减率。当 $u$ 小于 $\hat{u}$ 时，我们描述了 $\nu$ 的“小超出”区间，其中约束最小化问题的所有极小元均严格低于该变分问题的自然阈值 $\sqrt{u}_* - \sqrt{u}$。