随机间隊空置集的精细连通性界限

我们考察在三维及更高维度下对随机间隊空置集的 percolation，并推导所有 $u>0$ 取值下的截断两点函数的下界。这些界限在三维情况下以及更高维度中所有 $u \neq u_*$（其中 $u_*$ 为模型的临界参数）时，均在主要指数阶上与上界相匹配。三维情形下，我们进一步指出，截断两点函数在大距离 $x$ 处的增长率仅依赖于欧几里得范数，这为该模型在临界处的预期欧几里得不变性提供了线索。该速率函数较为罕见，包含对数修正项，并伴随一个显式的预因子，当参数 $u$ 趋近于临界点 $u_*$ 时该预因子收敛于 $0$。挑战之一在于由于在超临界相中对截断操作导致的单调性缺失，以及我们寻求的精确（旋转不变性）控制——即衡量某种“调和脊背”函数效应的控制——这两者的综合作用。其中，导数依赖于对随机游走在任意方向 $e$ 的命中概率的较细估计，这些估计见证了该不变性在离散层面的体现，并且预防了投影论证的直接应用。