关于球对称静态壳层的 Buchdahl 不等式

Buchdahl \cite{Bu1} 的一个经典结果表明，对于球对称 Einstein-物质 系统的静态解，总 ADM 质量 M 与物体边界的面积半径 R 满足不等式 $2M/R\leq 8/9$。该不等式的证明基于两个假设：能量密度向外非增，以及压强各向同性。本工作不假设 Buchdahl 的任一假设。我们考虑非各向同性的球对称壳层，支撑于 $[R_0,R_1], R_0>0,$ 的物质模型中能量密度 $\rho\geq 0$，径向与切向压强 $p\geq 0$ 和 $q$ 满足 $p+q\leq\Omega\rho, \Omega\geq 1$。我们对薄壳给出了 Buchdahl 型不等式：给定 $\epsilon<1/4$，存在 $\kappa>0$ 使得当 $R_1/R_0\leq 1+\epsilon$ 时 $2M/R_1\leq 1-\kappa$。还表明对于一族满足 $R_1/R_0\to 1$ 的解，该序列的 $2M/R_1$ 的上极限被 $((2\Omega+1)^2-1)/(2\Omega+1)^2$ 所界。特别地，若 $\Omega=1$（即 Vlasov 物质 的情形），该界为 $8/9$。后一结果受数值模拟 \cite{AR2} 的启发，其表明对于 Vlasov 物质的非各向同性壳层有 $2M/R_1\leq 8/9$，且当 $R_1/R_0\to 1$ 的壳层时该值 8/9 可被逼近。在 \cite{An2} 中构造了一族 Vlasov 物质的壳层，具有性质 $R_1/R_0\to 1$，且极限中 $2M/R_1$ 等于 8/9。我们强调，本文未使用物质的任何场方程，而在 \cite{An2} 中 Vlasov 方程 是关键。