关于球对称 Einstein-Vlasov 系统的静态壳层与 Buchdahl 不等式

在先前工作 \cite{An1} 中，于 Buchdahl 不等式背景下考虑了满足能量密度 $\rho\geq 0$、径向与切向压强 $p\geq 0$ 和 $q$ 且 $p+q\leq\Omega\rho, \Omega\geq 1$ 的物质模型。已证明当壳层支撑 $[R_0,R_1], R_0>0$ 满足 $R_1/R_0<1/4$ 时，球对称 Einstein 方程的静态壳层解服从 Buchdahl 型不等式。此外，给定一列解使得 $R_1/R_0\to 1$，则 $2M/R_1$ 的极限上确界被证明不超过 $((2\Omega+1)^2-1)/(2\Omega+1)^2$。本文中我们证明，对 Vlasov 物质可借助构造具有此性质的球对称 Einstein-Vlasov 系统静态壳层序列来实现 $R_1/R_0\to 1$ 这一假设。我们还证明对该序列不仅有 $2M/R_1$ 的极限上确界有界，而且其极限为 $((2\Omega+1)^2-1)/(2\Omega+1)^2=8/9$，因 Vlasov 物质有 $\Omega=1$。因此，Vlasov 物质的静态壳层可使 $2M/R_1$ 任意接近 $8/9$，鉴于 \cite{AR2} 中给出了数值证据表明 $8/9$ 是球对称 Einstein-Vlasov 系统任意静态解的 $2M/R_1$ 之上界，这是有趣的。