三维双曲空间中有限型 k-曲面的渐近几何

对于 $0<k<1$，三维双曲空间中的有限型 $k$-曲面是指面积有限、常外曲率等于 $k$ 的完备浸入曲面。在 [32] 中，我们证明了此类曲面具有有限亏格和有限多个尖形端。每个这样的尖渐近于围绕一条完备测地线的指数衰减半径的浸入圆柱，并终止于一个我们称为该尖的极点的理想点。我们证明任何有限型 $k$-曲面的每个尖都有一条良定义的轴，我们称之为该尖的 Steiner 测地线。其一个端点是极点，我们将另一个端点（构成新的几何数据）称为该尖的 Steiner 点。我们证明了一个涉及极点和 Steiner 点的新恒等式，用 Riemann 球面上的 Möbius 不变向量场表示。我们定义了有限型 $k$-曲面空间上的两个新泛函。第一个称为广义体积，由某个精心选择的形式的积分定义，并将曲面所围集合的体积概念推广到非嵌入情形。第二个称为重整化能量，与曲面的平均曲率积分相关，在选定 Busemann 函数之前良定义。在描述了有限型 $k$-曲面空间各层由开复流形自然参数化之后，我们证明了一个新的 Schlähli 型公式，将极点和 Steiner 点与广义体积和重整化能量的一阶变分联系起来。特别地，该公式的 Möbius 不变性给出了前述恒等式。最后我们研究了该恒等式和 Schlähli 型公式的一些应用。