关于一维随机薛定谔乘积

我们展示了关于薛定谔乘积 $$\cl:z \longmapsto -\imath \int_0^t e^{\imath s {\cop \partial^2_x}}\big( z_s\cdot \Psi_s\big) ds$$ 适定性方面的若干限制，其中 $\Psi$ 指随机薛定谔问题的所谓线性解。我们更具体地关注 $\Psi$ 满足如下方程的情形：\begin{equation}\label{starting-equation-abstract} (\imath \partial_t-\partial^2_x)\Psi=\dot{B}, \quad \Psi_0=0,\quad \quad t\in \R, \ x\in \mathbb{T}, \end{equation} 其中 $\dot{B}$ 是空间白噪声，具有指数为 $H>\frac12$ 的分数阶时间协方差。\smallskip 作为我们分析的结果，我们得到：若 $H$ 接近 $\frac12$（即 $\dot{B}$ 接近时空白噪声），则本质上不可能仅利用解的一阶展开（"$u=\Psi+z$"）来处理随机NLS问题 \begin{equation*} (\imath \partial_t-\partial^2_x)u= |u|^2+\dot{B}, \quad u_0=0,\quad \quad t\in \R, \ x\in \mathbb{T}, \end{equation*}。