关于多项式零点的幂和

由 Girard（有时称为 Waring）公式，次数为 $N$ 的单变量多项式 $P_{N}(x)$ 的零点之 $r$ 次幂的和可用首一多项式 ${\tilde P}_{N}(x)$ 的系数显式给出。该公式与一类已知的 $N-1$ 变量第一类 Chebyshev 多项式推广 $T_{r}^{(N-1)}$ 密切相关。这些幂和（或矩）的母函数已知涉及所考虑多项式的对数导数。这给出了零点分布的 Stieltjes 变换的一个简单公式。Perron-Stieltjes 反演可用于求出该分布，例如当 $N\to \infty$ 时。\par 以经典正交多项式为例。详细给出通常 Chebyshev 多项式 $T_{N}(x)$ 与 $U_{N}(x)$ 的结果。这将修正文献中关于 Chebyshev 的 $T-$ 多项式零点幂和的一个论断。对于各种情形（Jacobi、Laguerre、Hermite），这些矩母函数给出了某些 Riccati 方程的解。