由切比雪夫多项式构建的多元生成函数及其若干应用与推广

我们对由第一类和第二类切比雪夫多项式的乘积构成的多元生成函数求和。即，对于不同的整数 $t_{m},$ $m=1,...,n+k,$ 我们找到了形如 $\sum_{j\geq0}\rho^{j}\prod_{m=1}^{k}T_{j+t_{m}}(x_{m})\prod_{m=k+1}^{n+k}U_{j+t_{m}}(x_{m})$ 的表达式的闭形式。我们还找到了一个将 Hermite 多项式替换为第一类或第二类切比雪夫多项式的 $n$ 变量 Kibble-Slepian 公式。在所有考虑的情形中，得到的闭形式都是具有正分母的有理函数。我们展示了如何应用所得结果来积分某些有理函数或求和某些相关的切比雪夫多项式级数。我们希望所得公式在所谓的自由概率中会有所用处。我们也期待所得结果能激发进一步的研究和推广。特别是，遵循本文提出的方法，人们将能够为所谓的 $q$-Hermite 多项式获得类似的公式。因为这里考虑的第二类切比雪夫多项式正是 $q=0$ 时的 $q$-Hermite 多项式。我们已在一维和二维情形中应用了这些方法，并能够获得关于 $q$-Hermite 多项式的非平凡恒等式。