关于无限强有向图的（子）随机与瞬态加权

在本文中，对于给定的（可能是无限的）强连通有向图 $\cal{D},$ 我们考虑其所有真子随机加权构成的类 $\cal{S}_{<}(\cal{D})$（此处“真”意指存在一个顶点其出权严格小于 $1$）。对于由 $S\in {\cal S}_{<}({\cal D})$ 加权的 $\cal{D}$ 的有限子有向图 $\cal{F}$，令 $\ell_{max}(\cal{F})$ 为其最长有向圈的长度，$\lambda_{S}(\cal{F})$ 为其加权邻接矩阵的 Perron 根（谱半径）。我们证明：对所有 $\cal{F}$ 取的 $\ell_{max}(\cal{F})\bigl(1-\lambda_{S}(\cal{F})\bigr)$ 的下确界，对每个 $S\in \cal{S}_{<}(\cal{D})$ 为正，当且仅当 $\cal{D}$ 容许一个有限圈横截。所得结果给出了关于 $\cal{D}$ 的瞬态加权集合 ${\cal T}(\cal{D})$ 的一般性定理。特别地，我们给出了 ${\cal T}(\cal{D})$ 中元素的有限逼近的择一性定理，并简单地重证了 V. Cyr 关于 ${\cal T}(\cal{D})$ 为空的判据。