关于边界反应的稳定解：维数4+1下的De Giorgi型结果

我们证明，在 $\mathbb R^3$ 中方程 $$(-\Delta)^{1/2} u + f(u) =0$$ 的每一个有界稳定解都是一维剖面，即对于某个 $e\in \mathbb S^2$，$u(x)= \phi(e\cdot x)$，其中 $\phi:\mathbb R\to \mathbb R$ 是一维中非减的有界稳定解。这证明了半拉普拉斯算子在维数 $4$ 时的De Giorgi猜想。等价地，我们通过证明当 $d = 4$ 时，在 $\mathbb R^{d+1}_+=\mathbb R^{d+1}\cap \{x_{d+1}\geq 0\}$ 中边界反应的De Giorgi猜想的所有在 $\mathbb R^d$ 中单调（即经旋转后 $\partial_{x_d} U>0$）的临界点是一维的。我们的结果类似于 $\mathbb R^3$ 中稳定嵌入极小曲面为平面这一事实。注意关于经典Allen-Cahn方程（即半拉普拉斯被经典拉普拉斯替代）稳定解的相应结果仍然开放。