含非局部低阶项方程的 De Giorgi 型结果

已知在二维情形下，对于带有非零漂移的半线性椭圆方程，De Giorgi 猜想一般不成立，即 $$\Delta u+ q\cdot \nabla u+f(u)=0 \ \ \text{in } \ \ \mathbb R^2,$$ 当 $q=(0,-c)$ 且 $c\neq 0$ 时。该方程出现在本生灯火焰的建模中。本生火焰通常由两道火焰组成：一道扩散火焰和一道预混火焰。在本文中，针对上述方程在二维情形下的局部-非局部对应方程（含非局部预混火焰），我们证明了 De Giorgi 型结果以及稳定性猜想，$$\Delta u + c L[u] + f(u)=0 \quad \text{in} \ \ \mathbb R^n,$$ 其中 $L$ 为非局部算子，$f\in C^1(\mathbb R)$ 且 $c\in\mathbb R^+$。此外，对于 $n\ge 1$ 的情形，我们给出了上述方程在多种跳跃核下的先验估计。算子 $\Delta+cL$ 在概率论意义下是跳跃-扩散过程的无穷小生成元。