3D 自由边界 Allen--Cahn 与 Bernoulli 问题的全局稳定解均为一维

德·乔治zzi (De Giorgi) 的长期猜想断言：若 $n \leq 7$，则 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中每个单调 Allen--Cahn 方程解均为一维。该猜想的更强版本——常称为“稳定德·乔治zzi 猜想”——提出：若 $n \leq 7$，则 $\mathbb{R}^n$ 中每个稳定解都必须是一维的。迄今为止，两个猜想在 $3 \leq n \leq 7$ 的维度上均未被证明。卡ffarelli、C\'ordoba 与 Jerison 自 1990 年代起提出一种优雅的变体：考虑 Allen--Cahn 方程的自由边界版本。该变体具有阶梯状双谷势，导致多个自由边界。就每个自由边界而言，解在局部满足 Bernoulli 自由边界问题。然而，自由边界之间的相互作用使得解的全局行为类似于 Allen--Cahn 方程。本文证明了 3 维自由边界 Allen--Cahn 方程的稳定德·乔治zzi 猜想成立，并作为其推论，证明了 4 维单调解的相应德·乔治zzi 猜想。为取得这些结果，我们关键地解决了一个独立兴趣的经典开放问题：3D 中单相 Bernoulli 问题全局稳定解的分类。该结果是本文的核心，蕴含了 Bernoulli 方程局部稳定解的普适曲率估计，并为在自由边界 Allen--Cahn 方程中引入经典最小 surfaces 理论思想——经显著细化——奠定了基础。