单位圆盘上 Privalov 空间的若干度量拓扑

设 $N^p$ $(1<p<\infty)$ 为复平面开单位圆盘 $\Bbb D$ 上全纯函数的 Privalov 类 $N^p$。1977 年 M. Stoll 证明，赋予由度量 $\lambda_p$ 给出的拓扑的类 $N^p$ 成为一个 $F$-代数，其中 $$\lambda_p(f,g) = \Bigg(\int_0^{2\pi}\big(\log(1+ \vert f^*(e^{i\theta})-g^*(e^{i\theta})\vert)\big)^p\,\frac{d\theta} {2\pi}\Bigg)^{1/p},\quad f,g\in N^p.$$ 在 Me\v{s}trovi\'{c} 与 Pavi\'{c}evi\'{c}（2017）最近的综述论文中，给出了关于 Privalov 空间 $N^p$ $(1<p<\infty)$ 及其 Fr\'{e}chet 包 $F^p$ 拓扑结构的若干已知结果之综述。本文继续综述有关空间 $N^p$ $(1<p<\infty)$ 拓扑结构的结果。特别地，对每个 $p>1$，我们将类 $N^p$ 视为装备由度量 $\rho_p$ 诱导拓扑的空间 $M^p$，其中 $$\rho_p(f,g) = \Bigg(\int_0^{2\pi}\log^p(1+M(f-g)(\theta))\, \frac{d\theta}{2\pi}\Bigg)^{1/p},\quad f,g\in M^p,\,\, {\mathrm where}\,\, Mf(\theta) = \sup_{0\leqslant r<1} \big\vert f \big(re^{i\theta})\big\vert.$$ 另一方面，我们考虑由 Me\v{s}trovi\'{c}、Pavi\'{c}evi\'{c} 与 Labudovi\'{c}（1999）引入的度量拓扑下的类 $N^p$，该拓扑推广了一般定义于带正有限测度 $\mu$ 的测度空间 $(\Omega, \Sigma, \mu)$ 上的 Gamelin-Lumer 度量。具有 Musielak 与 Orlicz 意义下相关模的空间 $N^p$ 成为 Hardy-Orlicz 类。注意到所有考虑的度量在单位圆盘上诱导出相同的拓扑。