局部有限度量空间上的拓扑学

在局部有限度量空间上建立一般拓扑学理论，尤其是代数拓扑学理论的必要性，源于应用数学和纯粹数学的诸多研究领域：分子生物学、数学化学、计算机科学、拓扑图论和度量几何。本文中我们提出了该理论的基本概念及部分应用：我们用 NPP-函数、NPP-局部同构和 NPP-同伦（NPP 代表最近点保持）的概念替代了连续函数、同胚和同伦等价这些经典概念；我们还引入了 NPP-同构的概念。我们构造了三个在 NPP-同构下不变的不变量，特别地，定义了局部有限度量空间的基本群。作为首批应用，我们提出以下结果：受将群的 amenability 概念推广到任意度量空间的纯度量条件这一长期问题的启发，我们提出了 SN（小邻域）性质；受计算机科学中某些应用问题的启发，我们证明了 $\mathbb Z^2$ 中 Jordan 曲线定理的类似结果；受 Lausanne 一次讲座中提出的问题的启发，我们将 P.N. Jolissaint 和 Valette 关于 $\ell_p$-畸变的近期不等式推广到了任意局部有限度量空间。