关于若干广义顶点 Folkman 数

对于图 $G$ 和整数 $a_i\ge 1$，表达式 $G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$ 表示对于 $G$ 的顶点任意 $r$-染色，存在某个颜色 $i \in \{1,\cdots,r\}$ 使得 $G$ 中有一个单色 $a_i$-团。顶点 Folkman 数定义为 $F_v(a_1,\dots,a_r;H) = \min\{|V(G)| : G$ 是无 $H$ 的且 $G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v\}$，其中 $H$ 是一个图。此类顶点 Folkman 数在 $H=K_s$ 且 $s>\max\{a_i\}_{1\le i \le r}$ 时已被广泛研究。若对所有 $i$ 有 $a_i=a$，则记 $F_v(a^r;H)=F_v(a_1,\dots,a_r;H)$。令 $J_k$ 为缺一条边的完全图 $K_k$，即 $J_k=K_k-e$。本文我们关注 $H=J_k$ 的顶点 Folkman 数，特别是 $k=4$ 且 $a_i\le 3$ 的情形。Nešetřil 和 Rödl 在 1976 年的一个结果意味着对任意 $r\ge 2$，$F_v(3^r;J_4)$ 是良定义的。我们给出这一事实的一个新的且更直接的证明。最简单但也已引人入胜的情形是 $F_v(3,3;J_4)$，我们利用无 $J_4$ 过程建立了其上限 135。我们对当所有 $1 \le i \le r$ 有 $a_i \le 3$ 时的其他几个小情形 $F_v(a_1,\dots,a_r;J_4)$ 得到了精确值和界限，包括 $F_v(2,3;J_4)=14$、$F_v(2^4;J_4)=15$ 以及 $22 \le F_v(2^5;J_4) \le 25$。注意 $F_v(2^r;J_4)$ 是色数为 $r+1$ 的任意无 $J_4$ 图的最小顶点数。多数结果借助计算获得，但我们找到的某些上界图本身也很有趣。