边 Folkman 数 $F_e(3, 3; 4)$ 大于 19

不包含 $q$ 个顶点的完全图 $K_q$ 且在对其边进行任意双色染色时均存在单色三角形的图集记为 $\mathcal{H}_e(3, 3; q)$。本文考虑边 Folkman 数 $F_e(3, 3; q) = \min\{|V(G)| : G \in \mathcal{H}_e(3, 3; q)\}$。Folkman 于 1970 年证明了 $F_e(3, 3; q)$ 存在当且仅当 $q \geq 4$。由 Ramsey 数 $R(3, 3) = 6$ 可知，若 $q \geq 7$，则 $F_e(3, 3; q) = 6$。已知 $F_e(3, 3; 6) = 8$ 且 $F_e(3, 3; 5) = 15$。由 Folkman 的构造及其他作者的构造得出的 $F_e(3, 3; 4)$ 的上界并不理想。1975 年，Erdős 提出证明不等式 $F_e(3, 3; 4) < 10^{10}$ 的问题。该 Erdős 问题由 Spencer 于 1978 年解决。$F_e(3, 3; 4)$ 的最近上界由 Lange、Radziszowski 和 Xu 于 2012 年得出，他们证明了 $F_e(3, 3; 4) \leq 786$。该数的最佳下界为 19，由 Radziszowski 和 Xu 于 10 年前得出。本文中，我们通过证明 $F_e(3, 3; 4) \geq 20$ 改进了这一结果。在论文末尾，我们通过证明 $20 \leq F_v(2, 3, 3; 4) \leq 24$，改进了顶点 Folkman 数 $F_v(2, 3, 3; 4)$ 的已知界。